1. DABC adalah sama kaki.
2. Koordinat titik D adalah (4, 6, 8).
3. Panjang vektor CD adalah [tex] \displaystyle 2 \sqrt{14} [/tex].
4. Koordinat titik berat DABC adalah [tex] \displaystyle \begin{pmatrix} 6, \frac{14}{3}, \frac{26}{3} \end{pmatrix} [/tex].
──────────────
Catatan:
1. Tidak boleh copas dari web, aplikasi, atau user lain.
2. Jawaban disertai dengan langkah-langkah atau uraian penyelesaian.
3. Jawaban sebisa mungkin disertai dengan penjelasan.
4. Tidak boleh menjawab dengan asal/berkomentar.
5. Dilarang meminta BA (Brainliest Answer) di jawaban maupun komentar.
6. BA (Brainliest Answer) diberikan kepada user dengan kualitas jawaban minimal grade 4.
7. Dilarang spam.
Jawaban:
(pada bagian pembahasan)
Pembahasan
Diketahui
- DABC dengan A(2, –4, –6), B(6, 16, 22), dan C(10, 2, 10).
- Titik D terletak pada AB, sehingga AD = BD.
Ditanyakan
Buktikan bahwa:
- DABC adalah sama kaki.
- Koordinat titik D adalah (4, 6, 8).
- Panjang vektor CD adalah 2√14.
- Koordinat titik berat DABC adalah (6, 14/3, 26/3).
PENYELESAIAN
Persiapan
A(2, –4, –6), maka vektor posisinya adalah:
[tex]\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\-4\\-6\end{pmatrix}[/tex]
B(6, 16, 22), maka vektor posisinya adalah:
[tex]\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}6\\16\\22\end{pmatrix}[/tex]
C(10, 2, 10), maka vektor posisinya adalah:
[tex]\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}10\\2\\10\end{pmatrix}[/tex]
[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\&=\begin{pmatrix}6\\16\\22\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-4\\-6\end{pmatrix}\\\therefore\ \overrightarrow{AB}&=\begin{pmatrix}4\\20\\28\end{pmatrix}\\\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{BC}&=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\\&=\begin{pmatrix}10\\2\\10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\16\\22\end{pmatrix}\\\therefore\ \overrightarrow{BC}&=\begin{pmatrix}4\\-14\\-12\end{pmatrix}\\\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{AC}&=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\\&=\begin{pmatrix}4\\20\\28\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\-14\\-12\end{pmatrix}\\\therefore\ \overrightarrow{AC}&=\begin{pmatrix}8\\6\\16\end{pmatrix}\\\end{aligned}[/tex]
Pembuktian
1. DABC adalah sama kaki.
Titik D terletak pada AB. Oleh karena itu, untuk pembuktian ini, kita tidak perlu mencari koordinatnya terlebih dahulu. Dan DABC yang dimaksud adalah ΔABC, sehingga harus dibuktikan bahwa ΔABC adalah segitiga sama kaki.
Jika ΔABC adalah segitiga sama kaki, maka ada dua sisi yang sama panjang, atau, ada dua sudut yang sama besar.
Dengan memperhatikan komponen vektor-vektor posisi di atas, sisi AB adalah yang terpanjang, sehingga yang perlu dihitung adalah panjang BC dan AC.
[tex]\begin{aligned}\left|\overrightarrow{BC}\right|&=\sqrt{4^2+(-14)^2+(-12)^2}\\&=\sqrt{4^2+14^2+12^2}\\&=\sqrt{2^2\cdot2^2+2^2\cdot7^2+2^2\cdot6^2}\\&=\sqrt{2^2\left(2^2+7^2+6^2\right)}\\&=2\sqrt{4+49+36}\\\therefore\ \left|\overrightarrow{BC}\right|&=2\sqrt{89}\rm\ satuan\\\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}\left|\overrightarrow{AC}\right|&=\sqrt{8^2+6^2+16^2}\\&=\sqrt{2^2\cdot4^2+2^2\cdot3^2+2^2\cdot8^2}\\&=\sqrt{2^2\left(4^2+3^2+8^2\right)}\\&=2\sqrt{16+9+64}\\\therefore\ \left|\overrightarrow{AC}\right|&=2\sqrt{89}\rm\ satuan\\\end{aligned}[/tex]
Kita peroleh: [tex]\left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|[/tex]
∴ Dengan demikian, terbukti bahwa DABC, atau ΔABC adalah (segitiga) sama kaki.
[tex]\blacksquare[/tex]
2. Koordinat titik D adalah (4, 6, 8).
Karena AD = BD, dan titik D terletak pada AB, maka berlaku [tex]\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}[/tex] atau [tex]\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}[/tex].
[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{AD}&=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}&=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{OD}&=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}\\&=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4\\20\\28\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\-4\\-6\end{pmatrix}\\\overrightarrow{OD}&=\begin{pmatrix}4\\6\\8\end{pmatrix}\\\therefore\ D&(\bf4,\:6,\:8)\end{aligned}[/tex]
∴ Dengan demikian, terbukti benar bahwa koordinat titik D adalah (4, 6, 8).
[tex]\blacksquare[/tex]
3. Panjang vektor CD adalah 2√14.
[tex]\begin{aligned}\left|\overrightarrow{CD}\right|&=\left|\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\right|\\&=\left|\begin{pmatrix}4\\6\\8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\2\\10\end{pmatrix}\right|\\&=\left|\begin{pmatrix}-6\\4\\-2\end{pmatrix}\right|\\&=\sqrt{(-6)^2+4^2+(-2)^2}\\&=\sqrt{6^2+4^2+2^2}\\&=\sqrt{2^2\cdot3^2+2^2\cdot2^2+2^2}\\&=\sqrt{2^2\left(3^2+2^2+1\right)}\\&=2\sqrt{9+4+1}\\\therefore\ \left|\overrightarrow{CD}\right|&=2\sqrt{14}\rm\ satuan\\\end{aligned}[/tex]
∴ Dengan demikian, terbukti benar bahwa panjang vektor CD adalah 2√14.
[tex]\blacksquare[/tex]
4. Koordinat titik berat DABC adalah (6, 14/3, 26/3).
Karena DABC, atau ΔABC merupakan segitiga sama kaki dengan titik puncak C, maka titik beratnya terletak pada CD, yang juga adalah garis tinggi DABC atau ΔABC.
Misalkan titik berat DABC atau ΔABC adalah T, maka:
[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{OT}&=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)\\&=\frac{1}{3}\left(\begin{pmatrix}2\\-4\\-6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\16\\22\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}10\\2\\10\end{pmatrix}\right)\\&=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2+6+10\\-4+16+2\\-6+22+10\end{pmatrix}\\&=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}18\\14\\26\end{pmatrix}\\\overrightarrow{OT}&=\begin{pmatrix}6\\\\\dfrac{14}{3}\\\\\dfrac{26}{3}\end{pmatrix}\\\end{aligned}[/tex]
[tex]\therefore\ T\left(\bf6,\:\dfrac{14}{3},\:\dfrac{26}{3}\right)[/tex]
∴ Dengan demikian, terbukti benar bahwa koordinat titik berat DABC adalah (6, 14/3, 26/3).
[tex]\blacksquare[/tex]
[answer.2.content]